例 5.77

依赖于

• 无显式依赖

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• 第 6 章解答题 11

例 5.77

设 $f(x),g(x)$ 是数域 $K$ 上的互素多项式，$A$ 是 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，证明：$f(A)g(A)=O$ 的充要条件是

$$r(f(A))+r(g(A))=n.$$

解答

证明 根据假设，存在 $K$ 上的多项式 $u(x),v(x)$，使得

$$f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.$$

在上式中代入 $x=A$，可得恒等式

$$f(A)u(A)+g(A)v(A)=I_n.$$

考虑如下分块矩阵的初等变换：

$$\left(\begin{array}{cc}f(A)& O\\ O& g(A)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}f(A)& f(A)u(A)\\ O& g(A)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}f(A)& I_n\\ O& g(A)\end{array}\right)\to$$ $$\left(\begin{array}{cc}f(A)& I_n\\ -f(A)g(A)& O\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}O& I_n\\ -f(A)g(A)& O\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}f(A)g(A)& O\\ O& I_n\end{array}\right),$$

故有

$$r(f(A))+r(g(A))=r(f(A)g(A))+n$$

，从而结论得证。$\square$