例 6.83

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• 例 6.80

被以下题目直接调用

• 例 6.88

例 6.83

设 $f(x)$ 和 $m(x)$ 分别是 $m$ 阶矩阵 $A$ 的特征多项式和极小多项式，$g(x)$ 和 $n(x)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $B$ 的特征多项式和极小多项式，证明以下结论等价：

(1) $A,B$ 没有公共的特征值；

(2) $(f(x),g(x))=1$ 或 $(f(x),n(x))=1$ 或 $(m(x),g(x))=1$ 或 $(m(x),n(x))=1$；

(3) $f(B)$ 或 $m(B)$ 或 $g(A)$ 或 $n(A)$ 是可逆矩阵。

解答

证明 (1) $⟺$ (2)：由例 6.80 可知，(2) 中所有的条件都等价。显然 (1) 与 $(f(x),g(x))=1$ 等价，故 (1) 与 (2) 等价。

(2) $⟹$ (3)：例如，若 $(f(x),n(x))=1$，则存在 $u(x),v(x)$，使得 $f(x)u(x)+n(x)v(x)=1$。将 $x=B$ 代入上式并注意到 $n(B)=O$，故可得 $f(B)u(B)=I_n$，这表明 $f(B)$ 是可逆矩阵。将 $x=A$ 代入上式并注意到 $f(A)=O$， 故可得 $n(A)v(A)=I_m$，这表明 $n(A)$ 是可逆矩阵。同理可证其他的情形。

(3) $⟹$ (1)：设 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$ 是 $A$ 的特征值，则 $n({\lambda }_1),\cdots ,n({\lambda }_m)$ 是 $n(A)$ 的特征值。例如，若 $n(A)$ 是可逆矩阵， 则 $n({\lambda }_i)\ne 0$。由例 6.80 可知，${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$ 都不是 $B$ 的 特征值，从而 $A,B$ 没有公共的特征值。同理可证其他的情形。$\square$