例 6.72

依赖于

• 例 6.19
• 例 3.66
• 例 3.73

被以下题目直接调用

• 无

例 6.72

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，又 $|BA|\ne 0$，求证： $AB$ 可对角化的充要条件是 $BA$ 可对角化。

解答

证明 由例 6.19 可得 $|\lambda I_m-AB|={\lambda }^{m-n}|\lambda I_n-BA|$，因此 $AB$ 的特征值为 $BA$ 的 特征值以及 $0$。由于 $BA$ 非异，故其特征值全部非零，从而 $0$ 作为 $AB$ 的特征值， 其代数重数为 $m-n$。另一方面，我们有

$$n=r(BA)\le \min \{r(A),r(B)\}\le \max \{r(A),r(B)\}\le \min \{m,n\}=n,$$

从而 $r(A)=r(B)=n$。再由 Sylvester 不等式（例 3.66）可得

$$n=r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}=n,$$

从而 $r(AB)=n$。因此 $0$ 作为 $AB$ 的特征值，其几何重数为 $m-r(AB)=m-n$，即特征值 $0$ 的代数重数等于几何重数。任取 $BA$ 的特征值 ${\lambda }_0$，它也是 $AB$ 的非零特征值，显然 $m_{AB}({\lambda }_0)=m_{BA}({\lambda }_0)$。 考虑分块矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ B& {\lambda }_0{I}_n\end{array}\right),$$

由秩的降阶公式（例 3.73）可得

$$m+r({\lambda }_0{I}_n-BA)=n+r\left(I_m-\frac{1}{{\lambda }_0}AB\right)=n+r({\lambda }_0{I}_m-AB),$$

于是

$$t_{AB}({\lambda }_0)=m-r({\lambda }_0{I}_m-AB)=n-r({\lambda }_0{I}_n-BA)=t_{BA}({\lambda }_0).$$

由 ${\lambda }_0$ 的任意性即知，$AB$ 有完全的特征向量系当且仅当 $BA$ 有完全的特征向量系， 从而 $AB$ 可对角化当且仅当 $BA$ 可对角化。$\square$