例 3.73

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 6.72

例 3.73

设有分块矩阵

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right),$$

证明：

(1) 若 $A$ 可逆，则

$$\mathrm{r}(M)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(D-C{A}^{-1}B);$$

(2) 若 $D$ 可逆，则

$$\mathrm{r}(M)=\mathrm{r}(D)+\mathrm{r}(A-B{D}^{-1}C);$$

(3) 若 $A,D$ 都可逆，则

$$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(D-C{A}^{-1}B)=\mathrm{r}(D)+\mathrm{r}(A-B{D}^{-1}C).$$

解答

证明 (1) 由分块初等变换可得

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right),$$

由此即得结论。

(2) 同理可证明。

(3) 由 (1) 和 (2) 即得。