例 6.71

依赖于

• 例 6.70
• 例 3.62

被以下题目直接调用

• 例 7.36

例 6.71

设 $A$ 为 $m$ 阶矩阵，$B$ 为 $n$ 阶矩阵，$C$ 为 $m\times n$ 矩阵，

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right),$$

求证：若 $M$ 可对角化，则 $A,B$ 均可对角化。

解答

证明 任取 $M$ 的特征值 ${\lambda }_0$，并采用与例 6.70 的证明相同的记号。由 $|\lambda I-M|=|\lambda I-A||\lambda I-B|$ 可得 $m_M({\lambda }_0)=m_A({\lambda }_0)+m_B({\lambda }_0)$。考虑如下分块矩阵：

$${\lambda }_{0}I-M=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_{0}I-A& -C\\ O& {\lambda }_{0}I-B\end{array}\right),$$

由矩阵秩的不等式（例 3.62）可得

$$r({\lambda }_{0}I-M)\ge r({\lambda }_{0}I-A)+r({\lambda }_{0}I-B),$$

于是

$$\begin{array}{rl}{t}_M({\lambda }_0)& =(m+n)-r({\lambda }_{0}I-M)\\ & \le (m-r({\lambda }_{0}I-A))+(n-r({\lambda }_{0}I-B))\\ & =t_A({\lambda }_0)+t_B({\lambda }_0).\end{array}$$

由于几何重数总是小于等于代数重数，故有

$$t_M({\lambda }_0)\le t_A({\lambda }_0)+t_B({\lambda }_0)\le m_A({\lambda }_0)+m_B({\lambda }_0)=m_M({\lambda }_0).$$

因为 $M$ 可对角化，所以 $M$ 有完全的特征向量系，从而 $t_M({\lambda }_0)=m_M({\lambda }_0)$，再由上述不等式可得 $t_A({\lambda }_0)=m_A({\lambda }_0),t_B({\lambda }_0)=m_B({\lambda }_0)$。由 ${\lambda }_0$ 的任意性即知，$A,B$ 均有完全的特征向量系，从而均可对角化。$\square$