例 7.36

依赖于

• 例 6.71

被以下题目直接调用

• 例 7.37

例 7.36

设 $\phi$ 是复线性空间 $V$ 上的线性变换，$V_0$ 是 $\phi$ 的不变子空间。 求证：若 $\phi$ 可对角化，则 $\phi$ 在 $V_0$ 上的限制变换和 $\phi$ 在 $V/V_0$ 上的诱导变换都可对角化。

解答

证法 1 由例 6.71 的几何版本可知，限制变换 $\phi {|}_{V_0}$ 和诱导变换 $\bar{\phi }$ 都有完全的特征向量系，从而可对角化。

证法 2 设线性变换 $\phi$、限制变换 $\phi {|}_{V_0}$ 和诱导变换 $\bar{\phi }$ 的极小多项式分别为 $m(\lambda ),g(\lambda )$ 和 $h(\lambda )$，则容易验证 $\phi {|}_{V_0}$ 和 $\bar{\phi }$ 都适合多项式 $m(\lambda )$，从而 $g(\lambda )\mid m(\lambda )$ 且 $h(\lambda )\mid m(\lambda )$。由于 $\phi$ 可对角化，故 $m(\lambda )$ 无重根， 从而 $g(\lambda ),h(\lambda )$ 也无重根，于是 $\phi {|}_{V_0}$ 和 $\bar{\phi }$ 都可对角化。$\square$