例 7.37

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• 例 7.36

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例 7.37

设 $\phi$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 可对角化的充要条件是 对任一 $\phi$-不变子空间 $U$，均存在 $\phi$-不变子空间 $W$，使得 $V=U\oplus W$。这样的 $W$ 称为 $U$ 的 $\phi$-不变补空间。

解答

证明 先证充分性。假设 $\phi$ 不能对角化，则 $\phi$ 只有 $m$ 个线性无关的特征向量， 其中 $1\le m<n$。设由这些特征向量张成的子空间为 $U$，由条件可知，$U$ 存在非零的 $\phi$-不变补空间 $W$。考虑限制变换 $\phi {|}_W$，它在 $W$ 上必存在特征值和特征向量， 这些也是 $\phi$ 的特征值和特征向量，于是 $\phi$ 有多于 $m$ 个线性无关的特征向量， 矛盾！

再证必要性。设 $\phi$ 可对角化，$U$ 是 $\phi$-不变子空间，则由例 7.36 可知， $\phi {|}_U$ 仍可对角化，故存在 $U$ 的一组基 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r$，它们是 $\phi {|}_U$，也是 $\phi$ 的线性无关的特征向量。又因为 $\phi$ 可对角化，故存在 $n$ 个线性无关的特征向量 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，再由基扩张定理可知，可以从这组基中取出 $n-r$ 个向量和 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r$ 一起组成 $V$ 的一组基。设这 $n-r$ 个向量张成的子空间为 $W$，则 $W$ 是 $U$ 的 $\phi$-不变补空间。$\square$