例 6.57

依赖于

• 第 3 章解答题 3

被以下题目直接调用

• 第 7 章解答题 6

例 6.57

设 $V$ 为 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间，$V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为 $\phi (X)=AXA$，其中 $A\in V$。证明：若 $A$ 可对角化，则 $\phi$ 也可对角化。

解答

证明 设 $P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，使得

$$P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\},$$

则

$$P^{\prime }{A}^{\prime }(P^{\prime }{)}^{-1}=\Lambda ,$$

即 $A^{\prime }$ 也可对角化。设

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n),(P^{\prime }{)}^{-1}=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$$

分别为两个矩阵的列分块，则

$$A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i,A^{\prime }{\beta }_j={\lambda }_j{\beta }_j,1\le i,j\le n,$$

且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关，${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 线性无关。由第 3 章的解答题 3 可知，$\{{\alpha }_i{\beta }_j^{\prime },1\le i,j\le n\}$ 是 $V$ 中 $n^2$ 个线性无关的矩阵。注意到

$$\phi ({\alpha }_i{\beta }_j^{\prime })=A{\alpha }_i{\beta }_j^{\prime }A=(A{\alpha }_i)(A^{\prime }{\beta }_j{)}^{\prime }={\lambda }_i{\lambda }_j{\alpha }_i{\beta }_j^{\prime },$$

故 $\phi$ 有 $n^2$ 个线性无关的特征向量，从而可对角化。$\square$