第 3 章解答题 3

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• 无显式依赖

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• 例 6.57
• 例 6.58

第 3 章解答题 3

设 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_p\}\subseteq K^m$ 是 $p$ 个线性无关的 $m$ 维列向量，$\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_q\}\subseteq K^n$ 是 $q$ 个线性无关的 $n$ 维列向量。求证：$\{{\alpha }_i\cdot {\beta }_j^{\prime }\mid 1\le i\le p,1\le j\le q\}$ 是 $pq$ 个线性无关的 $m\times n$ 矩阵。

解答

设 $c_{ij}\in K$，使得

$$\sum _{i=1}^p\sum _{j=1}^q{c}_{ij}{\alpha }_i\cdot {\beta }_j^{\prime }=O,$$

则有

$$\sum _{i=1}^p{\alpha }_i\cdot \left(\sum _{j=1}^q{c}_{ij}{\beta }_j^{\prime }\right)=O.\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

设

$$\sum _{j=1}^q{c}_{ij}{\beta }_j^{\prime }=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in})(1\le i\le p),$$

则比较 (3.4) 式两边矩阵的第 $k$ 列有 ${\sum }_{i=1}^p{a}_{ik}{\alpha }_i=0$。由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_p$ 线性无关可得 $a_{ik}=0(1\le i\le p,1\le k\le n)$，于是

$$\sum _{j=1}^q{c}_{ij}{\beta }_j^{\prime }=0(1\le i\le p).$$

再由 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_q$ 线性无关可得 $c_{ij}=0(1\le i\le p,1\le j\le q)$，因此 $\{{\alpha }_i\cdot {\beta }_j^{\prime }\mid 1\le i\le p,1\le j\le q\}$ 线性无关。