例 6.54

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 1.14
• 第 6 章解答题 10

例 6.54

下列数列称为 Fibonacci 数列：

$$a_0=0,a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_4=3,a_5=5,a_6=8,\cdots ,$$

通项用递推式来表示为 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，试求 Fibonacci 数列通项的显式表达式。

解答

解 这是初等数学中的一个著名问题，用初等方法来求通项表达式不是一件容易的事。现在我们用矩阵方法可以很轻松地求得答案。首先用矩阵来表示递推式：

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\end{array}\right).$$

令

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$$

则

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\end{array}\right)=A^2\left(\begin{array}{c}{a}_{n-1}\\ a_{n-2}\end{array}\right)=\cdots =A^n\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_0\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$$

只要求出 $A^n$ 就可以算出 $a_n$ 来。$A$ 的特征多项式为

$$|\lambda I_2-A|={\lambda }^2-\lambda -1,$$

解得

$${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},{\lambda }_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$$

对应于特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量分别是

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right).$$

若记

$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1& 1\end{array}\right),$$

则

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right).$$

因此

$$A=P\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)P^{-1},A^n=P{\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)}^n{P}^{-1}.$$

经计算可得

$$A^n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}& {\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\\ {\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n& {\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n-1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n-1}\end{array}\right),$$

由此可得

$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right].$$

$\square$