第 6 章解答题 10

依赖于

• 例 6.54

被以下题目直接调用

• 无

第 6 章解答题 10

设有两个数列 $\{a_n\},\{b_n\}$，$a_1=1,b_1=-1$， $a_n=a_{n-1}+2b_{n-1}$，$b_n=-a_{n-1}+4b_{n-1}$。求证： $a_n=2^{n+1}-3^n,b_n=2^n-3^n$。

解答

将数列化为矩阵形式：

$$\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{n-1}\\ b_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)}^{n-1}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

参考例 6.54 的方法，计算出

$${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)}^{n-1}=\left(\begin{array}{cc}{2}^n-3^{n-1}& 2\cdot 3^{n-1}-2^n\\ 2^{n-1}-3^{n-1}& 2\cdot 3^{n-1}-2^{n-1}\end{array}\right),$$

由此即得结论。