例 6.39

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• 例 6.101
• 例 6.105
• 例 6.108
• 例 9.85
• 例 9.88

例 6.39

设数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，求证：$A$ 在 $\mathbb{F}$ 上可上三角化，即存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 是上三角矩阵。

解答

证明 对阶数进行归纳。当 $n=1$ 时结论显然成立，设对 $n-1$ 阶矩阵结论成立，现对 $n$ 阶矩阵 $A$ 进行证明。设 ${\lambda }_1\in \mathbb{F}$ 是 $A$ 的一个特征值，则由线性方程组的求解理论可知，存在特征向量 $e_1\in {\mathbb{F}}^n$，使得 $A{e}_1={\lambda }_1{e}_1$。由基扩张定理，可将 $e_1$ 扩张为 ${\mathbb{F}}^n$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，于是

$$(A{e}_1,A{e}_2,\cdots ,A{e}_n)=(e_1,e_2,\cdots ,e_n)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& A_1\end{array}\right),$$

其中 $A_1$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n-1$ 阶矩阵。令 $P=(e_1,e_2,\cdots ,e_n)$，则 $P$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，且由上式可得

$$AP=P\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& A_1\end{array}\right),P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& A_1\end{array}\right).$$

由此可得

$$|\lambda I_n-A|=(\lambda -{\lambda }_1)|\lambda I_{n-1}-A_1|,$$

从而 $A_1$ 的特征值也全在 $\mathbb{F}$ 中，故由归纳假设，存在 $\mathbb{F}$ 上的 $n-1$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $Q^{-1}{A}_{1}Q$ 是上三角矩阵。令

$$R=P\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right),$$

则 $R$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，且

$$R^{-1}AR={\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& A_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& Q^{-1}{A}_{1}Q\end{array}\right)$$

是上三角矩阵。$\square$