例 9.85

依赖于

• 例 6.39
• 例 9.13

被以下题目直接调用

• 例 9.88

例 9.85

设 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵，求证：存在 $n$ 阶酉矩阵 $U$，使得 $U^{-1}AU$ 是上三角矩阵。

解答

证明 由例 6.39 可知，存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=M$ 是上三角矩阵。 又由例 9.13 可知，存在酉矩阵 $U$ 和上三角矩阵 $R$，使得 $P=UR$，于是

$$A=PM{P}^{-1}=(UR)M(UR{)}^{-1}=U(RM{R}^{-1})U^{-1}.$$

因为上三角矩阵的逆阵是上三角矩阵，上三角矩阵的乘积是上三角矩阵，故 $RM{R}^{-1}$ 仍是上三角矩阵，从而 $U^{-1}AU=RM{R}^{-1}$ 是上三角矩阵。$\square$