例 6.108

依赖于

• 例 6.39

被以下题目直接调用

• 无

例 6.108

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶矩阵，$g(\lambda )=|\lambda I_n+A|$。求证：$n^2$ 阶矩阵

$$B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{I}_n+A& a_{12}{I}_n& \cdots & a_{1n}{I}_n\\ a_{21}{I}_n& a_{22}{I}_n+A& \cdots & a_{2n}{I}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}{I}_n& a_{n2}{I}_n& \cdots & a_{nn}{I}_n+A\end{array}\right)$$

是可逆矩阵的充要条件是 $g(A)$ 是可逆矩阵。

解答

证明 显然 $B=A\otimes I_n+I_n\otimes A$。设 $A$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则

$$g(\lambda )=(\lambda +{\lambda }_1)(\lambda +{\lambda }_2)\cdots (\lambda +{\lambda }_n).$$

由例 6.39 可知，存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\lambda }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right).$$

注意到

$$(P\otimes P{)}^{-1}B(P\otimes P)=(P^{-1}AP)\otimes I_n+I_n\otimes (P^{-1}AP)$$

是一个上三角矩阵，其主对角元素为 ${\lambda }_i+{\lambda }_j(1\le i,j\le n)$，故

$$|B|=\prod _{i,j=1}^n({\lambda }_i+{\lambda }_j)=\prod _{i=1}^{n}g({\lambda }_i).$$

因为 $g(A)$ 的特征值为 $g({\lambda }_1),g({\lambda }_2),\cdots ,g({\lambda }_n)$，所以 $|B|=|g(A)|$，从而 $B$ 是可逆矩阵等价于 $g(A)$ 是可逆矩阵。$\square$