例 6.35

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• 例 6.36
• 例 6.37

例 6.35

设 $\phi ,\psi$ 是复线性空间 $V$ 上乘法可交换的线性变换，即 $\phi \psi =\psi \phi$，求证：$\phi$ 的特征子空间是 $\psi$ 的不变子空间，$\psi$ 的特征子空间是 $\phi$ 的不变子空间。

解答

证明 由代数基本定理以及线性方程组的求解理论可知，$n(n\ge 1)$ 维复线性空间上的线性变换或 $n$ 阶复矩阵至少有一个特征值和特征向量。任取线性变换 $\phi$ 的一个特征值 ${\lambda }_0$，设 $V_0$ 是特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间，则对任意的 $\alpha \in V_0$，有

$$\phi \psi (\alpha )=\psi \phi (\alpha )=\psi ({\lambda }_0\alpha )={\lambda }_0\psi (\alpha ),$$

即 $\psi (\alpha )\in V_0$，因此 $V_0$ 是 $\psi$ 的不变子空间。同理可证 $\psi$ 的特征子空间是 $\phi$ 的不变子空间。$\square$