例 6.37

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• 例 6.35

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• 无

例 6.37

设 $\phi ,\psi$ 是复线性空间 $V$ 上乘法可交换的线性变换，求证：$\phi ,\psi$ 至少有一个公共的特征向量。

解答

证明 任取 $\phi$ 的特征值 ${\lambda }_0$ 及其特征子空间 $V_0$，由例 6.35 可知，$V_0$ 是 $\psi$-不变子空间。将线性变换 $\psi$ 限制在 $V_0$ 上，由于 $V_0$ 是维数大于零的复线性空间，故 $\psi {|}_{V_0}$ 至少有一个特征值 ${\mu }_0$ 及其特征向量 $\alpha \in V_0$，从而 $\phi (\alpha )={\lambda }_0\alpha ,\psi (\alpha )={\mu }_0\alpha$，于是 $\alpha$ 就是 $\phi ,\psi$ 的公共特征向量。$\square$