例 6.36

依赖于

• 例 6.35

被以下题目直接调用

• 无

例 6.36

设 $V$ 为 $n$ 维复线性空间，$S$ 是 $\mathcal{L}(V)$ 的非空子集，满足：$S$ 中的全体线性变换没有非平凡的公共不变子空间。设线性变换 $\phi$ 与 $S$ 中任一线性变换乘法均可交换，证明：$\phi$ 是纯量变换。

解答

证明 任取 $\phi$ 的特征值 ${\lambda }_0$ 及其特征子空间 $V_0$。任取 $\psi \in S$，则 $\phi \psi =\psi \phi$，由例 6.35 可知 $V_0$ 是 $\psi$-不变子空间，从而是 $S$ 中全体线性变换的公共不变子空间。又 $V_0\ne 0$，故 $V_0=V$，从而 $\phi ={\lambda }_0{I}_V$ 为纯量变换。$\square$