例 6.24

依赖于

• 例 1.47

被以下题目直接调用

• 例 6.27
• 例 6.28

例 6.24

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征多项式为

$$f(\lambda )={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n.$$

求证：$a_r$ 等于 $(-1{)}^r$ 乘以 $A$ 的所有 $r$ 阶主子式之和，即

$$a_r=(-1{)}^r\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_r\le n}A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_r\\ i_1& i_2& \cdots & i_r\end{array}\right),1\le r\le n.$$

进一步，若设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则

$$\begin{array}{rl}& \sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_r\le n}{\lambda }_{i_1}{\lambda }_{i_2}\cdots {\lambda }_{i_r}\\ & =\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_r\le n}A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_r\\ i_1& i_2& \cdots & i_r\end{array}\right),1\le r\le n.\end{array}$$

解答

证明 第一个结论就是例 1.47。第二个结论由 Vieta 定理即得。$\square$