例 5.23

依赖于

• 无显式依赖

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• 第 5 章选择题 10
• 第 5 章解答题 7
• 第 5 章解答题 8

例 5.23

求证：$a$ 是多项式 $f(x)$ 的 $k$ 重根的充要条件是：

$$f(a)=f^{\prime }(a)=\cdots =f^{(k-1)}(a)=0,f^{(k)}(a)\ne 0.$$

解答

证明 若 $a$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重根，可设 $f(x)=(x-a{)}^{k}g(x),g(x)$ 不含因式 $x-a$。通过对 $f(x)$ 求导可发现，$x-a$ 可整除 $f^{(j)}(x)(1\le j\le k-1)$。因此

$$f(a)=f^{\prime }(a)=\cdots =f^{(k-1)}(a)=0.$$

而 $f^{(k)}(a)=k!g(a)\ne 0$，故必要性得证。

反之，若 $a$ 是 $f(x)$ 的 $m$ 重根，若 $m>k$，则由必要性的证明可知，将有 $f^{(k)}(a)=0$，这与已知矛盾。同样，若 $m<k$，则由必要性的证明可知，将有 $f^{(m)}(a)\ne 0$，这也与已知矛盾，于是只能 $m=k$。$\square$