例 4.59

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• 第 4 章解答题 10

例 4.59

设 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_m$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且适合条件：

$${\phi }_i^2={\phi }_i,{\phi }_i{\phi }_j=0(i\ne j),\mathrm{Ker}{\phi }_1\cap \cdots \cap \mathrm{Ker}{\phi }_m=0.$$

求证：$V$ 是 $\mathrm{Im}{\phi }_1,\cdots ,\mathrm{Im}{\phi }_m$ 的直和。

解答

证明 任取 $\alpha \in \mathrm{Im}{\phi }_i\cap \left({\sum }_{j\ne i}\mathrm{Im}{\phi }_j\right)$，设 $\alpha ={\phi }_i(\beta )$，其中 $\beta \in V$，则 ${\phi }_i(\alpha )={\phi }_i^2(\beta )={\phi }_i(\beta )=\alpha$。又可设

$$\alpha ={\phi }_1({\alpha }_1)+\cdots +{\phi }_{i-1}({\alpha }_{i-1})+{\phi }_{i+1}({\alpha }_{i+1})+\cdots +{\phi }_m({\alpha }_m),$$

于是

$$\alpha ={\phi }_i(\alpha )={\phi }_i({\phi }_1({\alpha }_1)+\cdots +{\phi }_{i-1}({\alpha }_{i-1})+{\phi }_{i+1}({\alpha }_{i+1})+\cdots +{\phi }_m({\alpha }_m))=0.$$

因此 $\mathrm{Im}{\phi }_i\cap \left({\sum }_{j\ne i}\mathrm{Im}{\phi }_j\right)=0$。

对 $V$ 中任一向量 $\alpha$ 以及任意的 $i$，有

$${\phi }_i(\alpha -({\phi }_1(\alpha )+\cdots +{\phi }_m(\alpha )))={\phi }_i(\alpha )-{\phi }_i^2(\alpha )=0,$$

因此

$$\alpha -({\phi }_1(\alpha )+\cdots +{\phi }_m(\alpha ))\in \mathrm{Ker}{\phi }_1\cap \cdots \cap \mathrm{Ker}{\phi }_m=0,$$

从而 $\alpha -({\phi }_1(\alpha )+\cdots +{\phi }_m(\alpha ))=0$，即 $\alpha ={\phi }_1(\alpha )+\cdots +{\phi }_m(\alpha )$，于是 $V=\mathrm{Im}{\phi }_1+\cdots +\mathrm{Im}{\phi }_m$。这就证明了 $V$ 是 $\mathrm{Im}{\phi }_1,\cdots ,\mathrm{Im}{\phi }_m$ 的直和。$\square$