第 4 章解答题 10

依赖于

• 例 4.59

被以下题目直接调用

• 无

第 4 章解答题 10

设 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足条件 ${\phi }_i^2={\phi }_i,{\phi }_i{\phi }_j=0(i\ne j)$。求证：

$$V=\mathrm{Im}{\phi }_1\oplus \cdots \oplus \mathrm{Im}{\phi }_k\oplus \left(\bigcap _{i=1}^k\mathrm{Ker}{\phi }_i\right).$$

解答

本题是例 4.59 的推广。令 ${\phi }_{k+1}=I-({\phi }_1+\cdots +{\phi }_k)$，容易验证

$${\phi }_i{\phi }_{k+1}={\phi }_{k+1}{\phi }_i=0(1\le i\le k),{\phi }_{k+1}^2={\phi }_{k+1},$$

$\mathrm{Ker}{\phi }_1\cap \cdots \cap \mathrm{Ker}{\phi }_k\cap \mathrm{Ker}{\phi }_{k+1}=0$ 以及 $\mathrm{Im}{\phi }_{k+1}={\bigcap }_{i=1}^k\mathrm{Ker}{\phi }_i$，于是由例 4.59 即得结论。