例 4.23

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 4.6
• 例 4.22
• 例 4.27
• 例 4.41
• 第 4 章解答题 15

例 4.23

设 $\phi :V\to U$ 为线性映射，求证：

$$\dim \mathrm{Ker}\phi +\dim \mathrm{Im}\phi =\dim V.$$

解答

证明 设 $\dim V=n$，$\dim \mathrm{Ker}\phi =k$，我们只要证明 $\dim \mathrm{Im}\phi =n-k$ 即可。取 $\mathrm{Ker}\phi$ 的一组基 $e_1,\cdots ,e_k$，并将其扩张为 $V$ 的一组基 $e_1,\cdots ,e_k,e_{k+1},\cdots ,e_n$。任取 $\alpha \in V$，设

$$\alpha =c_1{e}_1+\cdots +c_k{e}_k+c_{k+1}{e}_{k+1}+\cdots +c_n{e}_n,$$

则

$$\phi (\alpha )=c_{k+1}\phi (e_{k+1})+\cdots +c_n\phi (e_n),$$

即 $\mathrm{Im}\phi$ 中任一向量都是 $\phi (e_{k+1}),\cdots ,\phi (e_n)$ 的线性组合。下证 $\phi (e_{k+1}),\cdots ,\phi (e_n)$ 线性无关。设

$${\lambda }_{k+1}\phi (e_{k+1})+\cdots +{\lambda }_n\phi (e_n)=0,$$

则

$$\phi ({\lambda }_{k+1}{e}_{k+1}+\cdots +{\lambda }_n{e}_n)=0,$$

即 ${\lambda }_{k+1}{e}_{k+1}+\cdots +{\lambda }_n{e}_n\in \mathrm{Ker}\phi$，故可设

$${\lambda }_{k+1}{e}_{k+1}+\cdots +{\lambda }_n{e}_n={\lambda }_1{e}_1+\cdots +{\lambda }_k{e}_k.$$

再由 $e_1,\cdots ,e_k,e_{k+1},\cdots ,e_n$ 线性无关可知

$${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_k={\lambda }_{k+1}=\cdots ={\lambda }_n=0.$$

因此 $\phi (e_{k+1}),\cdots ,\phi (e_n)$ 是 $\mathrm{Im}\phi$ 的一组基，从而 $\dim \mathrm{Im}\phi =n-k$，结论得证。$\square$