例 4.6

依赖于

• 例 4.23

被以下题目直接调用

• 第 4 章解答题 14

例 4.6

设 $V,U$ 是数域 $K$ 上的有限维线性空间，$\phi ,\psi :V\to U$ 是两个线性映射，证明：存在 $U$ 上的线性变换 $\xi$，使得 $\psi =\xi \phi$ 成立的充要条件是 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq \mathrm{Ker}\psi$。

解答

证明 先证必要性：任取 $v\in \mathrm{Ker}\phi$，则 $\psi (v)=\xi \phi (v)=0$，即有 $v\in \mathrm{Ker}\psi$，从而 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq \mathrm{Ker}\psi$。再证充分性：设 $\dim V=n,\dim U=m,\dim \mathrm{Ker}\phi =n-r$。取 $\mathrm{Ker}\phi$ 的一组基 $e_{r+1},\cdots ,e_n$，扩张为 $V$ 的一组基 $e_1,\cdots ,e_r,e_{r+1},\cdots ,e_n$。由例 4.23 的证明可知，$\phi (e_1),\cdots ,\phi (e_r)$ 是 $\mathrm{Im}\phi$ 的一组基，将其扩张为 $U$ 的一组基

$$\phi (e_1),\cdots ,\phi (e_r),g_{r+1},\cdots ,g_m.$$

定义 $\xi$ 为 $U$ 上的线性变换，它在基上的作用为：

$$\xi (\phi (e_i))=\psi (e_i)(1\le i\le r),\xi (g_j)=0(r+1\le j\le m).$$

由于 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq \mathrm{Ker}\psi$，故容易验证 $\psi (e_i)=\xi \phi (e_i)(1\le i\le n)$ 成立，从而 $\psi =\xi \phi$。$\square$