第 3 章解答题 8

依赖于

第 3 章解答题 8

设 $n$ 阶实方阵 $A$ 满足 $A A^{'} = a^{2} I_{n}$ ，其中 $a$ 为实数，求证：
$r (a I_{n} - A) = r ((a I_{n} - A)^{2}) .$

若 $a = 0$ ，则 $A A^{'} = O$ ，由例 2.46 可知 $A = O$ ，从而结论显然成立。若 $a \neq = 0$ ，注意到

(a I_{n} - A)^{2} = (\frac{1}{a} A A^{'} - A) (a I_{n} - A) = - \frac{1}{a} A (a I_{n} - A^{'}) (a I_{n} - A),

则由例 3.76 以及 $- \frac{1}{a} A$ 的非异性可得

r ((a I_{n} - A)^{2}) = r ((a I_{n} - A^{'}) (a I_{n} - A)) = r (a I_{n} - A) .