例 2.46

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 2.47
• 例 2.48
• 例 2.50
• 第 3 章解答题 8

例 2.46

证明下列结论：

(1) 若 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，则 $\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })\ge 0$，等号成立的充要条件是 $A=O$；

(2) 若 $A$ 是 $m\times n$ 复矩阵，则 $\mathrm{tr}(A{\overline{A}}^{\prime })\ge 0$，等号成立的充要条件是 $A=O$。

解答

证明 (1) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $m\times n$ 实矩阵，则通过计算可得

$$\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2\ge 0,$$

等号成立当且仅当 $a_{ij}=0(1\le i\le m,1\le j\le n)$，即 $A=O$。

(2) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $m\times n$ 复矩阵，则通过计算可得

$$\mathrm{tr}(A{\overline{A}}^{\prime })=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2\ge 0,$$

等号成立当且仅当 $a_{ij}=0(1\le i\le m,1\le j\le n)$，即 $A=O$。