例 2.47

依赖于

• 例 2.46

被以下题目直接调用

• 无

例 2.47

设 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$ 是实对称阵且 $A_1^2+A_2^2+\cdots +A_k^2=O$，证明：每个 $A_i=O$。

解答

证明 对题设中的等式两边同时取迹，可得

$$0=\mathrm{tr}(O)=\mathrm{tr}(A_1^2+A_2^2+\cdots +A_k^2)=\mathrm{tr}(A_1{A}_1^{\prime })+\mathrm{tr}(A_2{A}_2^{\prime })+\cdots +\mathrm{tr}(A_k{A}_k^{\prime }).$$

由例 2.46 可得 $\mathrm{tr}(A_i{A}_i^{\prime })\ge 0$，从而只可能是 $\mathrm{tr}(A_i{A}_i^{\prime })=0(1\le i\le k)$，再次由例 2.46 可得 $A_i=O(1\le i\le k)$。