例 9.120

依赖于

例 9.120

设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，证明： $r (I_{n} - A) = r ((I_{n} - A)^{2})$ 。

证法 1 设 $P$ 是正交矩阵，使得

P^{'} A P = diag {(cos θ_{1} sin θ_{1} - sin θ_{1} cos θ_{1}), \dots, (cos θ_{r} sin θ_{r} - sin θ_{r} cos θ_{r}), 1, \dots, 1, - 1, \dots, - 1},

其中 $sin θ_{i} \neq = 0 (1 \leq i \leq r)$ ，且有 $s$ 个 $1$ ， $t$ 个 $- 1$ 。因此

P^{'} (I_{n} - A) P = diag {(1 - cos θ_{1} - sin θ_{1} sin θ_{1} 1 - cos θ_{1}), \dots, (1 - cos θ_{r} - sin θ_{r} sin θ_{r} 1 - cos θ_{r}), 0, \dots, 0, 2, \dots, 2},

从而 $r (I_{n} - A) = n - s$ 。同理可得 $P^{'} (I_{n} - A)^{2} P$ 的表达式，并由此可得 $r ((I_{n} - A)^{2}) = n - s$ ，故结论成立。

证法 2 由于正交矩阵 $A$ 也是复正规矩阵，从而酉相似于对角矩阵，特别地， $A$ 可复对角化，再由例 7.41 即得结论。

证法 3 在第 3 章解答题 8 中，令 $a = 1$ 即得结论。 $□$