例 7.41

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• 无显式依赖

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• 例 7.42
• 例 7.92
• 例 9.120

例 7.41

求证：$n$ 阶复矩阵 $A$ 可对角化的充要条件是对 $A$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$， $({\lambda }_0{I}_n-A{)}^2$ 和 ${\lambda }_0{I}_n-A$ 的秩相同。

解答

证明 先证必要性。若 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$。 适当调整 $P$ 的列向量的顺序，不妨设 ${\lambda }_0={\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_r,{\lambda }_0\ne {\lambda }_j(j>r)$，则 $r({\lambda }_0{I}_n-A)=r({\lambda }_0{I}_n-\Lambda )=n-r$， $r(({\lambda }_0{I}_n-A{)}^2)=r(({\lambda }_0{I}_n-\Lambda {)}^2)=n-r$，于是结论成立。

再证充分性。用反证法，若 $A$ 不可对角化，则存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k)\}$ 为 Jordan 标准型，其中 $r_1>1$。注意到

$$r(({\lambda }_1{I}_n-A{)}^j)=r(({\lambda }_1{I}_n-J{)}^j)=\sum _{i=1}^{k}r(({\lambda }_1{I}_{r_i}-J_{r_i}({\lambda }_i){)}^j),j\ge 1,$$

又 $r({\lambda }_1{I}_{r_1}-J_{r_1}({\lambda }_1))=r_1-1$， $r(({\lambda }_1{I}_{r_1}-J_{r_1}({\lambda }_1){)}^2)=r_1-2$，因此 $r(({\lambda }_1{I}_n-A{)}^2)<r({\lambda }_1{I}_n-A)$，这与假设矛盾。$\square$