例 3.91

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.36
• 例 3.92
• 例 3.94

例 3.91

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，求证：

(1) 若 $\mathrm{r}(A)=n$，即 $A$ 是列满秩阵，则必存在秩等于 $n$ 的 $n\times m$ 矩阵 $B$，使得 $BA=I_n$（这样的矩阵 $B$ 称为 $A$ 的左逆）；

(2) 若 $\mathrm{r}(A)=m$，即 $A$ 是行满秩阵，则必存在秩等于 $m$ 的 $n\times m$ 矩阵 $C$，使得 $AC=I_m$（这样的矩阵 $C$ 称为 $A$ 的右逆）。

解答

证明 (1) 设 $P$ 为 $m$ 阶非异阵，$Q$ 为 $n$ 阶非异阵，使得

$$PAQ=\left(\begin{array}{c}{I}_n\\ O\end{array}\right),$$

因此

$$(I_n,O)PAQ=I_n,$$

即

$$(I_n,O)PA=Q^{-1},$$

于是

$$Q(I_n,O)PA=I_n.$$

令 $B=Q(I_n,O)P$ 即可。

(2) 同理可证，或者考虑 $A^{\prime }$ 并利用 (1) 的结论。

\par推论 列满秩矩阵适合左消去律，即若 $A$ 列满秩且 $AD=AE$，则 $D=E$。同理，行满秩矩阵适合右消去律，即若 $A$ 行满秩且 $DA=EA$，则 $D=E$。