例 3.36

依赖于

• 例 3.91

被以下题目直接调用

• 无

例 3.36

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_k;{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$ 是向量空间 $V$ 中的向量，且满足：

$$\{\begin{array}{l}{\beta }_1=c_{11}{\alpha }_1+c_{12}{\alpha }_2+\cdots +c_{1k}{\alpha }_k,\\ {\beta }_2=c_{21}{\alpha }_1+c_{22}{\alpha }_2+\cdots +c_{2k}{\alpha }_k,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\ {\beta }_m=c_{m1}{\alpha }_1+c_{m2}{\alpha }_2+\cdots +c_{mk}{\alpha }_k.\end{array}$$

记上述表示式中的系数矩阵为 $C=(c_{ij}{)}_{m\times k}$，求证：

(1) 若 $r(C)=k$，则这两组向量等价。

(2) 若 $r(C)=r$，则向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$ 的秩不超过 $r$。

解答

证明 (1) 在 $V$ 中取定一组基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，假设在这组基下 ${\alpha }_i$ 的坐标向量是 ${\tilde{\alpha }}_i(1\le i\le k)$，${\beta }_j$ 的坐标向量是 ${\tilde{\beta }}_j(1\le j\le m)$，则

$$\{\begin{array}{l}{\tilde{\beta }}_1=c_{11}{\tilde{\alpha }}_1+c_{12}{\tilde{\alpha }}_2+\cdots +c_{1k}{\tilde{\alpha }}_k,\\ {\tilde{\beta }}_2=c_{21}{\tilde{\alpha }}_1+c_{22}{\tilde{\alpha }}_2+\cdots +c_{2k}{\tilde{\alpha }}_k,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\ {\tilde{\beta }}_m=c_{m1}{\tilde{\alpha }}_1+c_{m2}{\tilde{\alpha }}_2+\cdots +c_{mk}{\tilde{\alpha }}_k,\end{array}$$

写成矩阵形式为

$$({\tilde{\beta }}_1,{\tilde{\beta }}_2,\cdots ,{\tilde{\beta }}_m)=({\tilde{\alpha }}_1,{\tilde{\alpha }}_2,\cdots ,{\tilde{\alpha }}_k)C^{\prime }.$$

因为 $C^{\prime }$ 是一个行满秩 $k\times m$ 矩阵，故由例 3.91 可知，存在 $m\times k$ 矩阵 $T$，使得 $C^{\prime }T=I_k$，于是

$$({\tilde{\beta }}_1,{\tilde{\beta }}_2,\cdots ,{\tilde{\beta }}_m)T=({\tilde{\alpha }}_1,{\tilde{\alpha }}_2,\cdots ,{\tilde{\alpha }}_k).$$

这表明 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_k$ 可用 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$ 来线性表示，于是这两组向量等价。

(2) 类似于 (1) 的讨论，可用两个矩阵乘积的秩不超过每个矩阵的秩得到。