例 3.76

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 第 3 章解答题 8
• 例 8.41
• 第 8 章解答题 12
• 例 9.33
• 第 9 章解答题 25

例 3.76

设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，求证：

$$\mathrm{r}(A^{\prime }A)=\mathrm{r}(A{A}^{\prime })=\mathrm{r}(A).$$

解答

证明 首先证明 $\mathrm{r}(A^{\prime }A)=\mathrm{r}(A)$，为此我们将证明齐次线性方程组 $Ax=0$ 和 $A^{\prime }Ax=0$ 同解。显然 $Ax=0$ 的解都是 $A^{\prime }Ax=0$ 的解。反之，任取方程组 $A^{\prime }Ax=0$ 的解 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$，则 ${\alpha }^{\prime }{A}^{\prime }A\alpha =0$，即 $(A\alpha {)}^{\prime }(A\alpha )=0$。记 $A\alpha =(b_1,b_2,\cdots ,b_m{)}^{\prime }\in {\mathbb{R}}^m$，则

$$b_1^2+b_2^2+\cdots +b_m^2=0.$$

因为 $b_i$ 是实数，故每个 $b_i=0$，即 $A\alpha =0$，也即 $\alpha$ 是 $Ax=0$ 的解。这就证明了方程组 $Ax=0$ 和 $A^{\prime }Ax=0$ 同解，即 $V_A=V_{A^{\prime }A}$，于是 $\mathrm{r}(A^{\prime }A)=\mathrm{r}(A)$。在上述等式中用 $A^{\prime }$ 替代 $A$ 可得 $\mathrm{r}(A{A}^{\prime })=\mathrm{r}(A^{\prime })$，又因为 $\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(A^{\prime })$，故结论得证。

\par注 类似的方法可证明：若 $A$ 是 $m\times n$ 复矩阵，则

$$\mathrm{r}(\overline{A^{\prime }}A)=\mathrm{r}(A\overline{A^{\prime }})=\mathrm{r}(A).$$