例 9.33

依赖于

• 例 3.76

被以下题目直接调用

• 无

例 9.33

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 是一组向量， $G=G({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)$ 是其 Gram 矩阵，求证： $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)=r(G)$。

解答

证明 取 $V$ 的一组标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，设 ${\alpha }_i$ 的坐标向量为 $x_i(1\le i\le m)$，$A=(x_1,x_2,\cdots ,x_m)$ 为 $n\times m$ 实矩阵， 则由抽象向量映射到坐标向量的保积同构 $\phi :V\to {\mathbb{R}}^n$ 可知 $G=A^{\prime }A$，于是只要证明 $r(A)=r(A^{\prime }A)$ 成立即可，而这由例 3.76 即得。$\square$