例 3.75

依赖于

• 例 3.60
• 例 3.62

被以下题目直接调用

• 无

例 3.75

设 $A,B$ 都是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵且 $AB=BA$，证明：

$$\mathrm{r}(A+B)\le \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-\mathrm{r}(AB).$$

解答

证明 考虑如下分块矩阵的乘法：

$$\left(\begin{array}{cc}I& I\\ O& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& -B\\ I& A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A+B& -AB+BA\\ B& BA\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A+B& O\\ B& AB\end{array}\right).$$

由例 3.60 和例 3.62 可得

$$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)\ge \mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}A+B& O\\ B& BA\end{array}\right)\ge \mathrm{r}(A+B)+\mathrm{r}(AB),$$

由此即得结论。