例 3.60

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• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.63
• 例 3.64
• 例 3.75

例 3.60

求证：$\mathrm{r}(AB)\le \min \{\mathrm{r}(A),\mathrm{r}(B)\}$。

解答

证明 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵。将矩阵 $B$ 按列分块，$B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s)$，则

$$AB=(A{\beta }_1,A{\beta }_2,\cdots ,A{\beta }_s).$$

若 $B$ 列向量的极大无关组为 $\{{\beta }_{j_1},{\beta }_{j_2},\cdots ,{\beta }_{j_r}\}$，则 $B$ 的任一列向量 ${\beta }_j$ 均可用 $\{{\beta }_{j_1},{\beta }_{j_2},\cdots ,{\beta }_{j_r}\}$ 线性表示。于是任一 $A{\beta }_j$ 也可用 $\{A{\beta }_{j_1},A{\beta }_{j_2},\cdots ,A{\beta }_{j_r}\}$ 来线性表示。因此，向量组 $\{A{\beta }_1,A{\beta }_2,\cdots ,A{\beta }_s\}$ 的秩不超过 $r$，即 $\mathrm{r}(AB)\le \mathrm{r}(B)$。同理，对矩阵 $A$ 用行分块的方法可以证明 $\mathrm{r}(AB)\le \mathrm{r}(A)$。

\par注 上例即是说，矩阵相乘之后秩相等或变小。这是证明矩阵秩的不等式时一个重要的技巧，关键是如何选取适当的矩阵（可以是奇异矩阵）以取得较好的效果。