例 3.33

依赖于

• 例 3.14

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• 无

例 3.33

证明下列线性空间是实数域上的无限维线性空间：

(1) 实数域 $\mathbb{R}$ 上的连续函数全体构成的线性空间 $C(\mathbb{R})$（见例 3.22 (5)）；

(2) 以 0 为极限的实数数列全体构成的线性空间 $V=\{\{a_n\}\mid \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0\}$（见例 3.23 (4)）。

解答

证明 我们用反证法来证明。

(1) 若 $C(\mathbb{R})$ 是有限维线性空间，则可取到正整数 $k>\dim C(\mathbb{R})$。然而由例 3.14 可知 $\sin x,\sin 2x,\cdots ,\sin kx$ 是 $\mathbb{R}$-线性无关的，矛盾。

(2) 若 $V$ 是有限维线性空间，则可取到正整数 $k>\dim V$。构造 $V$ 中 $k$ 个数列：

$$\left\{a_n^{(1)}=\frac{1}{n}\right\},\left\{a_n^{(2)}=\frac{1}{n^2}\right\},\cdots ,\left\{a_n^{(k)}=\frac{1}{n^k}\right\}.$$

设有实数 $c_1,c_2,\cdots ,c_k$，使得

$$c_1\{a_n^{(1)}\}+c_2\{a_n^{(2)}\}+\cdots +c_k\{a_n^{(k)}\}=\{0\},$$

则对于任意的正整数 $n$，成立

$$\frac{c_1}{n}+\frac{c_2}{n^2}+\cdots +\frac{c_k}{n^k}=0.$$

任取 $k$ 个不同的正整数代入上式，并利用 Vandermonde 行列式即得 $c_1=c_2=\cdots =c_k=0$，从而上述 $k$ 个数列线性无关，矛盾。

事实上，对于无限维线性空间也可以定义基的概念。首先，需要适当地修改线性无关和线性表示的定义。

\par定义 设 $B=\{e_i{\}}_{i\in I}$ 为线性空间 $V$ 中的向量族，若 $B$ 中任意有限个向量都线性无关，则称向量族 $B$ 线性无关；若向量 $\alpha$ 可表示为 $B$ 中有限个向量的线性组合，则称 $\alpha$ 可被向量族 $B$ 线性表示。若线性空间 $V$ 中存在线性无关的向量族 $B$，使得 $V=L(B)$，即 $V$ 中任一向量都可被 $B$ 线性表示，则称向量族 $B$ 是 $V$ 的一组基。

然后，再利用选择公理或 Zorn 引理就可以证明任意线性空间中基的存在性了。

由于高等代数主要研究有限维线性空间理论，故我们不对上述内容做进一步的展开，有兴趣的读者可以参考相关的教材。虽然如此，在本书中我们还是会适当地强调有限维线性空间和无限维线性空间在某些性质上的巨大差异，这些讨论将为我们学习后续专业课程提供几何上的想象和例证。