例 3.14

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.33

例 3.14

设 $V$ 是实数域上连续函数全体构成的实线性空间，求证下列函数线性无关：

(1) $\sin x,\sin 2x,\cdots ,\sin nx$；

(2) $1,\cos x,\cos 2x,\cdots ,\cos nx$；

(3) $1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\cdots ,\sin nx,\cos nx$。

解答

证法 1 根据向量线性无关的基本性质，我们只要证明 (3) 即可。 对 $n$ 进行归纳，当 $n=0$ 时，显然 $1$ 作为一个函数线性无关。假设命题对小于 $n$ 的自然数成立，现证明等于 $n$ 的情形。设

$$a+b_1\sin x+c_1\cos x+b_2\sin 2x+c_2\cos 2x+\cdots +b_n\sin nx+c_n\cos nx=0,$$

其中 $a,b_i,c_i$ 都是实数。对上式两次求导，可得

$$-b_1\sin x-c_1\cos x-4b_2\sin 2x-4c_2\cos 2x-\cdots -n^2{b}_n\sin nx-n^2{c}_n\cos nx=0.$$

再将第一个式子乘以 $n^2$ 加到第二个式子上，可得

$$a{n}^2+\sum _{i=1}^{n-1}{b}_i(n^2-i^2)\sin ix+\sum _{i=1}^{n-1}{c}_i(n^2-i^2)\cos ix=0.$$

由归纳假设即得 $a=b_1=c_1=\cdots =b_{n-1}=c_{n-1}=0$。将此结论代入第一个式子可得 $b_n\sin nx+c_n\cos nx=0$。若 $b_n\ne 0$（$c_n\ne 0$），则 $\tan nx=-c_n/b_n$（$\cot nx=-b_n/c_n$）为常数，矛盾。因此，$b_n=c_n=0$。

证法 2 设

$$f(x)=a+b_1\sin x+c_1\cos x+b_2\sin 2x+c_2\cos 2x+\cdots +b_n\sin nx+c_n\cos nx=0,$$

其中 $a,b_i,c_i$ 都是实数。依次设

$$g(x)=1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\cdots ,\sin nx,\cos nx,$$

并分别计算定积分

$${\int }_0^{2\pi }f(x)g(x)dx,$$

可得 $a=b_1=c_1=\cdots =b_n=c_n=0$。$\square$