例 3.22

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.31

例 3.22

通常的教科书（如 [1]）都会提及以下线性空间的典型例子：

(1) 数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维行（列）向量集合 ${\mathbb{K}}_n({\mathbb{K}}^n)$，在行（列）向量的加法和数乘下成为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，称为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维行（列）向量空间。

(2) 数域 $\mathbb{K}$ 上的一元多项式全体 $\mathbb{K}[x]$，在多项式的加法和数乘下成为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间。在 $\mathbb{K}[x]$ 中，取次数小于等于 $n$ 的多项式全体，记这个集合为 ${\mathbb{K}}_n[x]$，则 ${\mathbb{K}}_n[x]$ 也是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间。

(3) 数域 $\mathbb{K}$ 上 $m\times n$ 矩阵全体 $M_{m\times n}(\mathbb{K})$，在矩阵的加法和数乘下成为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间。

(4) 若两个数域 ${\mathbb{K}}_1\subseteq {\mathbb{K}}_2$，则 ${\mathbb{K}}_2$ 可以看成是 ${\mathbb{K}}_1$ 上的线性空间，向量就是 ${\mathbb{K}}_2$ 中的数，向量的加法就是数的加法，数乘就是 ${\mathbb{K}}_1$ 中的数乘以 ${\mathbb{K}}_2$ 中的数。特别地，数域 $\mathbb{K}$ 也可以看成是 $\mathbb{K}$ 自身上的线性空间。

(5) 实数域 $\mathbb{R}$ 上的连续函数全体记为 $C(\mathbb{R})$，函数的加法及数乘分别定义为 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$，$(kf)(x)=kf(x)$，则 $C(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}$ 上的线性空间。

在上面的例子中，列举的线性空间及其运算（加法和数乘）在某种意义下都是标准的。然而下面的例题却告诉我们，某些特殊的集合或者常见线性空间上，还可以定义一些特殊的加法或数乘，它们或者是或者不是线性空间。这足以反映线性空间这一概念的广泛包容性。

解答

（源码中本题没有识别到单独的“证明/解/解答”段；题目与解答可能在上方原文中连排。）