例 3.20
依赖于
被以下题目直接调用
设
α1,α2,⋯,αm 是向量空间 V 中一组向量且其秩等于 r，
αi1,αi2,⋯,αir 是其中 r 个向量。假设下列条件之一成立：
(1) αi1,αi2,⋯,αir 线性无关；
(2) 任一 αi 均可由 αi1,αi2,⋯,αir 线性表示。
求证：αi1,αi2,⋯,αir 是向量组的极大无关组。
解答
证明
(1) 设 αi1,αi2,⋯,αir 线性无关，又设
αj1,αj2,⋯,αjr 是向量组的极大无关组。对任意的
1≤i≤m，αi1,αi2,⋯,αir,αi
均可由 αj1,αj2,⋯,αjr 线性表示，由
\S\S3.1.3 定理 2 的逆否命题可知
αi1,αi2,⋯,αir,αi 必线性相关。再由例 3.8
可知 αi 可由 αi1,αi2,⋯,αir 线性表示，
从而 αi1,αi2,⋯,αir 也为向量组的极大无关组。
(2) 设任一 αi 均可由
αi1,αi2,⋯,αir 线性表示。不失一般性，可设
αi1,αi2,⋯,αis 是向量组
αi1,αi2,⋯,αir 的极大无关组。因此
αi1,αi2,⋯,αis 线性无关。再由线性组合的传递性可知，
任一 αi 均可由
αi1,αi2,⋯,αis 线性表示，故
αi1,αi2,⋯,αis 是原向量组的极大无关组，从而
s=r，即 αi1,αi2,⋯,αir 是原向量组的极大无关组。
评论
支持 Markdown 和 LaTeX 数学公式。