例 3.18

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 第 3 章填空题 7
• 第 3 章填空题 8

例 3.18

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 是一组线性无关的向量， 向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$ 可用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性表示如下：

$$\{\begin{array}{rl}{\beta }_1& =a_{11}{\alpha }_1+a_{12}{\alpha }_2+\cdots +a_{1m}{\alpha }_m,\\ {\beta }_2& =a_{21}{\alpha }_1+a_{22}{\alpha }_2+\cdots +a_{2m}{\alpha }_m,\\ & ⋮\\ {\beta }_k& =a_{k1}{\alpha }_1+a_{k2}{\alpha }_2+\cdots +a_{km}{\alpha }_m.\end{array}$$

记表示矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{k\times m}$，求证：向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$ 的秩等于 $r(A)$。

解答

证明 设 $r(A)=r$，记 $A$ 的 $k$ 个行向量为 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_k$。不失一般性，可假设 $A$ 的前 $r$ 个行向量 线性无关，其余行向量均可用前 $r$ 个行向量线性表示。若

$${\gamma }_i=c_1{\gamma }_1+c_2{\gamma }_2+\cdots +c_r{\gamma }_r,$$

则经过简单计算可得

$${\beta }_i=c_1{\beta }_1+c_2{\beta }_2+\cdots +c_r{\beta }_r.$$

另一方面，若

$$c_1{\beta }_1+c_2{\beta }_2+\cdots +c_r{\beta }_r=0,$$

则

$$c_1(a_{11}{\alpha }_1+\cdots +a_{1m}{\alpha }_m)+\cdots +c_r(a_{r1}{\alpha }_1+\cdots +a_{rm}{\alpha }_m)=0,$$

即

$$(c_1{a}_{11}+\cdots +c_r{a}_{r1}){\alpha }_1+\cdots +(c_1{a}_{1m}+\cdots +c_r{a}_{rm}){\alpha }_m=0.$$

因为 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关，故可得

$$\{\begin{array}{rl}{a}_{11}{c}_1+a_{21}{c}_2+\cdots +a_{r1}{c}_r& =0,\\ a_{12}{c}_1+a_{22}{c}_2+\cdots +a_{r2}{c}_r& =0,\\ & ⋮\\ a_{1m}{c}_1+a_{2m}{c}_2+\cdots +a_{rm}{c}_r& =0.\end{array}$$

将上述方程组看成是未知数 $c_i$ 的齐次线性方程组，其系数矩阵的秩为 $r$，未知数个数 也是 $r$，因此只有唯一一组解，即零解。这表明 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 是向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$ 的极大无关组，因此向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$ 的秩等于 $r$。$\square$