例 3.15

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 第 3 章填空题 7
• 第 3 章填空题 8

例 3.15

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关，又

$$\{\begin{array}{rl}{\beta }_1& =a_{11}{\alpha }_1+a_{12}{\alpha }_2+\cdots +a_{1r}{\alpha }_r,\\ {\beta }_2& =a_{21}{\alpha }_1+a_{22}{\alpha }_2+\cdots +a_{2r}{\alpha }_r,\\ & ⋮\\ {\beta }_r& =a_{r1}{\alpha }_1+a_{r2}{\alpha }_2+\cdots +a_{rr}{\alpha }_r.\end{array}$$

求证：${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 线性相关的充要条件是系数矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{r\times r}$ 的行列式为零。

解答

证明 记 $A$ 的行向量为 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_r$。 若 $|A|=0$，则 $A$ 的行向量线性相关，即存在不全为零的 $r$ 个数 $c_1,c_2,\cdots ,c_r$，使得

$$c_1{\gamma }_1+c_2{\gamma }_2+\cdots +c_r{\gamma }_r=0.$$

经简单计算可得

$$c_1{\beta }_1+c_2{\beta }_2+\cdots +c_r{\beta }_r=0,$$

从而 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 线性相关。

反之，若 $A$ 可逆，如有 $k_1,k_2,\cdots ,k_r$，使得

$$k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+\cdots +k_r{\beta }_r=0,$$

将 ${\beta }_i$ 代入，并利用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 的线性无关性， 可得以 $k_i$ 为未知数的线性方程组：

$$\{\begin{array}{rl}{a}_{11}{k}_1+a_{21}{k}_2+\cdots +a_{r1}{k}_r& =0,\\ a_{12}{k}_1+a_{22}{k}_2+\cdots +a_{r2}{k}_r& =0,\\ & ⋮\\ a_{1r}{k}_1+a_{2r}{k}_2+\cdots +a_{rr}{k}_r& =0.\end{array}$$

因为 $A$ 可逆，所以该方程组只有零解，从而 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 线性无关。$\square$