第 2 章解答题 14

依赖于

• 例 1.7

被以下题目直接调用

• 例 3.81

第 2 章解答题 14

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的每一行、每一列的元素之和都为零，证明：$A$ 的每个元素的代数余子式都相等。

解答

设 $A=(a_{ij})$，$x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$，$y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n{)}^{\prime }$，考虑如下 $n+1$ 阶矩阵的行列式值：

$$B=\left(\begin{array}{cc}A& x\\ y^{\prime }& 0\end{array}\right).$$

一方面，由例 1.7 可得

$$|B|=-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{y}_j.$$

另一方面，先把行列式 $|B|$ 的第二行，$\cdots$，第 $n$ 行全部加到第一行上；再将第二列，$\cdots$，第 $n$ 列全部加到第一列上，可得

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& x_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& x_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& x_n\\ y_1& y_2& \cdots & y_n& 0\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& {\sum }_{i=1}^n{x}_i\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& x_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& x_n\\ y_1& y_2& \cdots & y_n& 0\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& {\sum }_{i=1}^n{x}_i\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}& x_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& x_n\\ {\sum }_{j=1}^n{y}_j& y_2& \cdots & y_n& 0\end{array}\right|.\end{array}$$

依次按照第一行和第一列进行展开，可得

$$|B|=-A_{11}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{y}_j.$$

比较上述两个结果，可得 $A$ 的所有代数余子式都相等。