例 2.39

依赖于

• 例 2.36
• 例 2.38
• 例 2.37

被以下题目直接调用

• 例 3.81

例 2.39

设 $A$ 为 $n(n>2)$ 阶矩阵，求证：$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$。

解答

证明 若 $A$ 可逆，则在关系式 $A^{\ast }A=|A|I_n$ 的两边同时取伴随并由例 2.36 可得

$$A^{\ast }(A^{\ast }{)}^{\ast }=(A^{\ast }A{)}^{\ast }=(|A|I_n{)}^{\ast }=|A{|}^{n-1}{I}_n.$$

而 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$，代入即可解得 $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$。

若 $A$ 不可逆，即 $|A|=0$，则存在可逆阵 $P,Q$，使得

$$PAQ=\Lambda =\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right),$$

其中 $r<n$。由与例 2.38 类似的讨论可得 ${\Lambda }^{\ast \ast }=O$，从而

$$O=(PAQ{)}^{\ast \ast }=P^{\ast \ast }{A}^{\ast \ast }{Q}^{\ast \ast }.$$

由例 2.37 可知 $P^{\ast \ast },Q^{\ast \ast }$ 都是可逆阵，因此 $A^{\ast \ast }=O=|A{|}^{n-2}A$ 仍然成立。