例 2.37

依赖于

• 例 2.36

被以下题目直接调用

• 例 2.38
• 例 2.39
• 例 8.60

例 2.37

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$c$ 为常数，求证：

$$\begin{array}{ll}(1)& (A^{\prime }{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{\prime };\\ (2)& (cA{)}^{\ast }=c^{n-1}{A}^{\ast };\\ (3)& \text{若 }A\text{ 为可逆阵，则 }{A}^{\ast }\text{ 也可逆，并且 }(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }.\end{array}$$

解答

证明 (1) 和 (2) 由伴随矩阵的定义以及行列式的性质即得。

(3) 由例 2.36 可得

$$A^{\ast }(A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{-1}A{)}^{\ast }=I_n^{\ast }=I_n,$$

从而 $(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }$。