例 8.60

依赖于

• 例 2.37

被以下题目直接调用

• 无

例 8.60

设 $A$ 是 $n$ 阶负定实对称矩阵，求证：$A^{-1}$ 也是负定阵；当 $n$ 为偶数时，$A^{\ast }$ 负定阵； 当 $n$ 为奇数时，$A^{\ast }$ 是正定阵。

解答

证明 因为 $A$ 负定，故存在非异实矩阵 $C$，使得 $A=-C^{\prime }C$，于是

$$A^{-1}=-C^{-1}(C^{\prime }{)}^{-1}=-C^{-1}(C^{-1}{)}^{\prime }$$

也负定；由例 2.37 可得

$$A^{\ast }=(-1{)}^{n-1}{C}^{\ast }(C^{\prime }{)}^{\ast }=(-1{)}^{n-1}{C}^{\ast }(C^{\ast }{)}^{\prime },$$

故当 $n$ 为偶数时，$A^{\ast }=-C^{\ast }(C^{\ast }{)}^{\prime }$ 是负定阵；当 $n$ 为奇数时， $A^{\ast }=C^{\ast }(C^{\ast }{)}^{\prime }$ 是正定阵。$\square$