例 2.16

依赖于

例 2.16

求下列 $n$ 阶矩阵的逆矩阵：
$A = 011 ⋮ 1 101 ⋮ 1 110 ⋮ 1 \dots \dots \dots \dots 111 ⋮ 0 .$

解我们用两种方法来求解，第一种是利用矩阵乘法的结合律，比如例 2.12 (2) 和例 2.13，第二种是利用基础循环矩阵的多项式来表示循环矩阵，比如例 2.14。

解法 1 设 $α = (1, 1, \dots, 1)^{'}$ ，则 $A = - I_{n} + α α^{'}$ 。设 $B = c I_{n} + d α α^{'}$ ，则通过简单的计算可知

A B = - c I_{n} + (c + (n - 1) d) α α^{'} .

令 $c = - 1$ ， $c + (n - 1) d = 0$ ，则 $d = \frac{1}{n - 1}$ ，于是 $A B = I_{n}$ ，从而

A^{- 1} = B = - I_{n} + \frac{1}{n - 1} α α^{'} .

解法 2 设 $J$ 为基础循环矩阵，则 $A = J + J^{2} + \dots + J^{n - 1}$ 。设 $B = c I_{n} + J + J^{2} + \dots + J^{n - 1}$ ，其中 $c$ 为待定系数，则通过简单的计算可得

A B = (n - 1) I_{n} + (c + n - 2) (J + J^{2} + \dots + J^{n - 1}) .

只要令 $c = 2 - n$ ，则 $A B = (n - 1) I_{n}$ ，于是

A^{- 1} = \frac{1}{n - 1} B .

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