例 2.12

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• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 2.16
• 第 2 章填空题 11

例 2.12

计算下列矩阵的 $k$ 次幂，其中 $k$ 为正整数：

$$(1)A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& a& 1\\ 0& 0& a\end{array}\right);(2)A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 4& 8\\ 3& 6& 12\end{array}\right).$$

解答

解 (1) 设

$$J=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$

则 $A=a{I}_3+J$。注意到 $a{I}_3$ 和 $J$ 乘法可交换，并且 $J^3=O$，因此我们可用二项式定理来求 $A$ 的 $k$ 次幂：

$$\begin{array}{rl}{A}^k& =(a{I}_3+J{)}^k=(a{I}_3{)}^k+C_k^1(a{I}_3{)}^{k-1}J+C_k^2(a{I}_3{)}^{k-2}{J}^2\\ & =a^k{I}_3+C_k^1{a}^{k-1}J+C_k^2{a}^{k-2}{J}^2=\left(\begin{array}{ccc}{a}^k& C_k^1{a}^{k-1}& C_k^2{a}^{k-2}\\ 0& a^k& C_k^1{a}^{k-1}\\ 0& 0& a^k\end{array}\right).\end{array}$$

(2) 注意到 $A$ 的列向量成比例，故可设 $\alpha =(1,2,3{)}^{\prime }$，$\beta =(1,2,4)$，则 $A=\alpha \beta$。由矩阵乘法的结合律并注意到 $\beta {\alpha }^{\prime }=17$，可得

$$\begin{array}{rl}{A}^k& =({\alpha }^{\prime }\beta )({\alpha }^{\prime }\beta )\cdots ({\alpha }^{\prime }\beta )={\alpha }^{\prime }(\beta {\alpha }^{\prime })\cdots (\beta {\alpha }^{\prime })\beta \\ & =(\beta {\alpha }^{\prime }{)}^{k-1}{\alpha }^{\prime }\beta =17^{k-1}A=\left(\begin{array}{ccc}17^{k-1}& 2\cdot 17^{k-1}& 4\cdot 17^{k-1}\\ 2\cdot 17^{k-1}& 4\cdot 17^{k-1}& 8\cdot 17^{k-1}\\ 3\cdot 17^{k-1}& 6\cdot 17^{k-1}& 12\cdot 17^{k-1}\end{array}\right).\end{array}$$

$\square$