例 1.49

依赖于

• 例 1.22
• 例 1.7

被以下题目直接调用

• 例 1.50
• 例 2.42

例 1.49

设 $n$ 阶行列式 $|A|=|a_{ij}|$，$A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，求证：

$$|B|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}-a_{12}& a_{12}-a_{13}& \cdots & a_{1,n-1}-a_{1n}& 1\\ a_{21}-a_{22}& a_{22}-a_{23}& \cdots & a_{2,n-1}-a_{2n}& 1\\ a_{31}-a_{32}& a_{32}-a_{33}& \cdots & a_{3,n-1}-a_{3n}& 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}-a_{n2}& a_{n2}-a_{n3}& \cdots & a_{n,n-1}-a_{nn}& 1\end{array}\right|=\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}.$$

解答

证法 1 设行列式 $|A|$ 的列向量依次为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，并且 $1$ 表示元素都是 $1$ 的列向量，则

$$|B|=|{\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_{n-1}-{\alpha }_n,1|.$$

依次将第 $i$ 列加到第 $i-1$ 列上去 $(i=n-1,\cdots ,2)$，可得

$$|B|=|{\alpha }_1-{\alpha }_n,{\alpha }_2-{\alpha }_n,\cdots ,{\alpha }_{n-1}-{\alpha }_n,1|.$$

将第 $n$ 列写成 $({\alpha }_n+1)-{\alpha }_n$，进行拆分可得

$$\begin{array}{rl}|B|& =|{\alpha }_1-{\alpha }_n,{\alpha }_2-{\alpha }_n,\cdots ,{\alpha }_{n-1}-{\alpha }_n,{\alpha }_n+1|\\ & -|{\alpha }_1-{\alpha }_n,{\alpha }_2-{\alpha }_n,\cdots ,{\alpha }_{n-1}-{\alpha }_n,{\alpha }_n|.\end{array}$$

将上述两个行列式的第 $n$ 列依次加到前 $n-1$ 列上，可得

$$|B|=|{\alpha }_1+1,{\alpha }_2+1,\cdots ,{\alpha }_{n-1}+1,{\alpha }_n+1|-|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{n-1},{\alpha }_n|,$$

最后由例 1.22 即得本题的结论。

证法 2 由例 1.7 可知

$$-\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}=\left|\begin{array}{ccccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n& 1\\ 1& 1& \cdots & 1& 0\end{array}\right|.$$

依次将第 $i$ 列乘以 $-1$ 加到第 $i-1$ 列上去 $(i=2,\cdots ,n)$，再按第 $n+1$ 行展开可得

$$\begin{array}{rl}-\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}& =\left|\begin{array}{cccccc}{\alpha }_1-{\alpha }_2& {\alpha }_2-{\alpha }_3& \cdots & {\alpha }_{n-1}-{\alpha }_n& {\alpha }_n& 1\\ 0& 0& \cdots & 0& 1& 0\end{array}\right|\\ & =-|{\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_{n-1}-{\alpha }_n,1|=-|B|.\end{array}$$

结论得证。$\square$