正项级数重排和加括号问题

加括号问题

加括号

1. 正项级数 $\sum a_n$ 若收敛，则任意改变各项顺序和加括号，得到的新级数仍收敛, 且级数值和如此加括号后一致， 事实上，加括号后的级数可看作原来级数的一个子列
2. 级数加括号之后收敛, 且括号内每个元素符号相同, 则原本级数收敛

设正项级数为

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+a_3+\cdots ,a_n>0.$$

原级数的部分和数列是 $S_n=a_1+\cdots +a_n$，现在把相邻的项加括号，例如

$$(a_1+a_2)+(a_3+a_4+a_5)+(a_6+a_7)+\cdots .$$

把每个括号看成新级数的一项：

$$b_1=a_1+a_2,b_2=a_3+a_4+a_5,b_3=a_6+a_7,\dots$$

新级数的部分和为

$$T_1=b_1=a_1+a_2=S_2,$$ $$T_2=b_1+b_2=a_1+\cdots +a_5=S_5,$$ $$T_3=b_1+b_2+b_3=a_1+\cdots +a_7=S_7.$$

所以

$$T_1=S_2,T_2=S_5,T_3=S_7,\dots$$

即新级数的部分和数列 $\{T_k\}$ 是原部分和数列 $\{S_n\}$ 的子列：
一般地，若括号的右端点依次为 $n_1<n_2<n_3<\cdots$，那么新级数第 $k$ 个部分和就是

$$T_k=S_{n_k}.$$

因此，如果原级数收敛，即 $S_n\to S$，根据“收敛数列的任何子列都收敛于同一个极限”，便有 $T_k=S_{n_k}\to S$。所以加括号后的级数仍然收敛，并且和不变

---

设原级数为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$，部分和为 $S_n=a_1+\cdots +a_n$。加括号后的形式为

$$(a_1+\cdots +a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots +a_{n_2})+\cdots$$

设加括号后级数的第 $k$ 个部分和为 $T_k$，那么 $T_k=S_{n_k}$。已知加括号后的级数收敛于 $S$，就是

$$S_{n_k}=T_k\to S.$$

这只说明原部分和数列的一个子列收敛。要证明整个 $\{S_n\}$ 收敛，关键就要用到每个括号内的各项符号相同
假设 $n_{k-1}<n\le n_k$，也就是说 $S_n$ 位于第 $k$ 个括号内部。
如果该括号内各项都非负，那么从 $S_{n_{k-1}}$ 到 $S_{n_k}$，部分和单调增加，因此

$$S_{n_{k-1}}\le S_n\le S_{n_k}.$$

如果该括号内各项都非正，那么部分和单调减少，因此

$$S_{n_k}\le S_n\le S_{n_{k-1}}.$$

无论是哪一种情况，都有

$$|S_n-S|\le \max \{|S_{n_{k-1}}-S|,|S_{n_k}-S|\}.$$

而加括号后的级数收敛，说明 $S_{n_{k-1}}\to S$、$S_{n_k}\to S$，所以右边趋于 $0$，从而 $S_n\to S$。因此原级数收敛，并且它的和与加括号后的级数相同。

上面的第二条同时提供了一种判断数列发散的方式: 若按符号加括号后的级数发散，那么原级数必定发散

重排问题

重排问题

设$\sum u_n$为正项级数，则任意改变其中各项的顺序后得到的级数与原来具有相同的敛散性，且在收敛时级数的和不变.

设正项级数 $\{u_n\}$ 的第 $n$ 个部分和为 $S_n$ 且收敛于 $S$ ,重排后的级数 $\{v_n\}$ 的第 $m$ 个部
分和为 ${\sigma }_m.$ 易知对每一 $v_k(1⩽k⩽m)$, 都存在与其相等的 $u_{i_k}(1⩽k⩽m).$ 记

$$n=\max \{i_1,i_2,\cdots ,i_m\}$$

则对任何 $m$, 都存在 $n$ ,使 ${\sigma }_m⩽S_n.$ 由于$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$, 所以对任何正整数$m$都有

$${\sigma }_m⩽S$$

即知重排后的级数收敛，且其和 $\sigma ⩽S$, 另一方面，$\{u_n\}$也可看作是由$\{v_n\}$重排得
到的，故也有$S⩽\sigma .$ 于是就有$\sigma =S.$

这种按大小排列通项估计的手段与创造单调性以及估计问题 > 涉及排序的估计类似