创造单调性

在某些情况下，若存在单调性，很多问题将变得容易处理，在正项级数的前提下，通过级数的重排，可以创造某种单调性进一步处理问题，下面以一道例题展开说明

例

$$若正项级数\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}收敛，则\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{a_1+a_2+\dots +a_n}也收敛$$

step1: 假设 $a_n$ 单调增加
有如下放缩

$$a_1+a_2+\dots +a_{2n-1}\ge a_n+a_{n+1}+\dots +a_{2n-1}\ge n{a}_n$$

于是对级数的奇数项和偶数项分别有

$$\frac{2n-1}{a_1+\dots +a_{2n-1}}<\frac{2n-1}{n{a}_n}<\frac{2}{a_n},\frac{2n}{a_1+\dots +a_{2n}}<\frac{2n}{n{a}_n}<\frac{2}{a_n}$$

由于$\sum \frac{1}{a_n}$收敛，从而命题得证

step2:对于一般情况
将$a_n$从小到大重排，将重排后的数列记为$b_n$，由于收敛的正项级数在重排之后仍收敛，于是

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}收敛\to \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{b_n}收敛$$

由第一步的结论 $\to \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{b_1+b_2+\dots +b_n}$收敛

另一方面，由于$b_n$为从小到大重排得到，因此

$$b_1+b_2+\dots +b_n\le a_1+a_2+\dots +a_n$$

于是

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{a_1+a_2+\dots +a_n}\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{b_1+b_2+\dots +b_n}\to 收敛$$

对于一般的正数列，未必能够按非降次序重排。例如 $\{1/n\}$ 没有最小项，便无法选出“第一小”的元素。但本题的条件恰好保证这种重排存在。因为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}<\infty ⟹\frac{1}{a_n}\to 0⟹a_n\to \infty$$

所以对每个 $M>0$，满足 $a_n\le M$ 的项只有有限多个。这意味着原数列的各项可以依次选出最小项、次小项等，从而确实能够重排为非降数列

这种思路实际上与正项级数重排和加括号问题 > 重排问题的证明思路一致