求整符号下的根号估计

以一道例题展开说明

例

证明级数收敛

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{[\sqrt{n}]}}{n}$$

对于这种形式的级数，要判断收敛，首先想到的就是交错级数判别法，但这里并不是标准的“交错”格式，因此如果使用重排/加括号的方式，便可以将其化为标准的交错级数

为了总结规律，先写出级数的具体几项

$$\sqrt{1}\sim \sqrt{3}:-\frac{1}{1},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$$ $$\sqrt{4}\sim \sqrt{8}:\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8}$$

由此便可以总结出规律，每经过一个平方数符号就会改变，不变号的项数共有 $(n+1{)}^2-n^2=2n+1$ 项，下面我们将符号相同的项集中在一起，令

$$a_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2+1}+...+\frac{1}{(n+1{)}^2-1}$$

因此原级数就变为了标准的交错级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$$

现在只需要证明 $a_n$ 单调 $\to 0$ 即可，于是就变成了一个求极限问题

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2+1}+...+\frac{1}{(n+1{)}^2-1}\\ & \\ & =\frac{1}{n^2}\sum _{k=0}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n^2}}\\ & \\ & =\frac{1}{n^2}\sum _{k=0}^{2n}[1-\frac{1}{n^2}+O(\frac{k^2}{n^4})]\\ & \\ & =\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}+O(\frac{1}{n^3})\end{array}$$

虽然看起来上面的做法这种采用估阶问题的手段有些繁杂(事实上，可以直接使用夹逼定理一步到位)

$$0<a_n<\frac{2n+1}{n^2}\to 0$$

但此时还要证明 $a_n$ 在 $n$ 充分大时的单调性，此时只能使用估阶的方式了(其他方式最后的误差过大)

$$a_{n+1}-a_n=-O(\frac{1}{n^2})<0$$

从而 $a_n$ 单调递减，这就证明了转换后的级数收敛，另一方面。由正项级数重排和加括号问题，这时可以看作加括号后的级数收敛，从而原级数收敛，这就证明了命题

上面的按符号分段方式本质上也是为了增加估计精度，这与估计问题 > 根据单调性分段的想法相同